Questo è il programma di riferimento per l'esame di “Istituzioni
di Matematiche” del corso di laurea quadriennale in Scienze Naturali
(qualsiasi ordinamento: vecchio ordinamento, nuovo ordinamento, nuovo ordinamento
adeguato).
La nozione di insieme. L'insieme N. Operazioni in N e loro proprietà.
La divisione euclidea. Gli insiemi Z e Q: operazioni in Z e Q e
loro proprietà. La rappresentazione sulla retta degli insiemi
N, Z e Q. Non esiste soluzione in Q dell'equazione x2=2.
Enunciati. Connettivi logici. Tabelle di verità. Elementi
di calcolo dei predicati. I teoremi, e come si possono dimostrare.
Dimostrazioni per induzione.
Come si individua un insieme: mediante elenco degli elementi,
mediante una proprietà caratteristica, come unione di insiemi dati,
come “insieme delle parti”. L'insieme vuoto. Unione e intersezione.
Prodotto cartesiano.
Relazioni. Funzioni: dominio, immagine, iniettività,
suriettività e questioni connesse; restrizione a un sottoinsieme;
la funzione inversa; composizione di funzioni. Relazioni in un insieme e
alcune possibili proprietà. Relazioni d'ordine; minimo, massimo,
estremo inferiore, estremo superiore; completezza.
Relazioni di equivalenza; classi di equivalenza;
la congruenza modulo un numero naturale. Insieme quoziente.
Operazioni in un insieme e loro possibili proprietà.
Gruppi; sottogruppi; omomorfismi fra gruppi. Anelli; sottoanelli;
omomorfismi fra anelli. L'anello delle classi di resto modulo un numero
naturale; criteri di divisibilità per i numeri interi. Campi;
sottocampi; campi ordinati; isomorfismi tra campi ordinati.
Ogni campo ordinato ha un sottocampo isomorfo a Q.
Altre proprietà dei campi ordinati. In un campo ordinato,
l'equazione x2+1=0 non ha soluzione.
Il campo R dei numeri reali. Numeri reali razionali.
Numeri algebrici e numeri trascendenti. Radice n-sima di un numero reale.
Elevamento a potenza in R.
Cardinalità. Elementi di calcolo combinatorio.
Con riferimento agli appunti redatti dal docente, questa parte del programma corrisponde al contenuto dei capitoli 1-13, omettendo: le sezioni 1.7, 1.10 e 1.11; le dimostrazioni dei teoremi 4.7.3 e 4.7.4; le sezioni 4.8, 4.9 e 5.4; le dimostrazioni relative agli esempi 5.7.3, 5.7.4 e 5.8.3; la dimostrazione del teorema 5.9.5; il teorema 8.2.3; le dimostrazioni dei teoremi 8.6.1, 8.6.3, 9.4.2, 9.4.3, 9.4.4, 9.4.5, 9.4.6, 9.4.7 e 9.4.10; le sezioni 9.5 e 10.3; le dimostrazioni dei teoremi 10.5.1, 10.5.2, 10.5.5 e 10.5.6; il capitolo 11; le dimostrazioni dei teoremi 12.2.2, 12.2.3, 12.2.4, 12.2.5 e 12.2.6; la sezione 12.3; le dimostrazioni dei teoremi 13.2.1, 13.3.1, 13.4.1, 13.4.2 e 13.4.7.
La geometria del piano. Cenni sui postulati di Euclide e sugli assiomi
di Hilbert. Corrispondenze biunivoche fra l'insieme dei punti della retta
e l'insieme dei numeri reali. Orientamento della retta e del piano.
Vettori applicati e vettori liberi. Somma di vettori liberi e prodotto
per numeri reali. Sistemi di riferimento cartesiani nel piano.
I vettori liberi i e j: ogni vettore libero del piano
si scrive in uno e un solo modo come loro combinazione lineare.
Condizioni di parallelismo e di ortogonalità di vettori espressi
nelle forme ai+bj e a'i+b'j.
Distanza di due punti. Coordinate del punto medio di un segmento.
Equazione di un luogo geometrico. Equazioni cartesiane.
Equazione cartesiana della retta. Equazione della retta passante per
due punti assegnati. Equazione esplicita della retta. Significato geometrico
del coefficiente angolare. Condizioni di ortogonalità e parallelismo
fra rette. Distanza di un punto da una retta.
Varietà algebriche. Coniche. Coniche degeneri. Luoghi geometrici
nel piano. Equazione della circonferenza e questioni connesse.
Ellisse, iperbole, parabola. Rette tangenti ad una conica.
Eccentricità. Classificazione delle coniche.
Il metodo delle coordinate. Il problema di Apollonio.
Con riferimento agli appunti redatti dal docente, questa parte del programma corrisponde al contenuto dei capitoli 14-18, omettendo: le dimostrazioni dei teoremi 14.2.2, 14.2.3 e 14.5.1; le dimostrazioni dei teoremi 15.4.1, 15.4.2, 15.4.3, 15.4.4, 15.4.5, 15.4.6, 16.2.1, 16.2.2, 16.2.3, 16.2.4, 16.3.1, 16.6.1, 16.6.2 e 16.6.3; la sezione 17.5; la dimostrazione del teorema 18.5.4.
Spazi vettoriali. Lo spazio dei vettori liberi del piano.
Lo spazio dei polinomi a coefficienti reali nell'indeterminata x di grado
minore o uguale a n. Gli spazi Rn e Rm,n.
Omomorfismo fra spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali.
Combinazioni lineari. Il sottospazio vettoriale generato da un insieme
di vettori. Operazioni elementari su un insieme di vettori.
Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. Dimensione.
Sistemi lineari. Matrici associate a un sistema lineare.
Procedimento di Gauss per trasformare una matrice in una matrice
ridotta equivalente. Rango di una matrice.
Teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione e discussione dei sistemi
lineari, anche con parametro. Problemi riconducibili alla risoluzione di
sistemi lineari.
Con riferimento agli appunti redatti dal docente, questa parte del programma corrisponde al contenuto dei capitoli 19 e 20, omettendo: ogni riferimento al prodotto fra matrici; la dimostrazione dei teoremi 19.3.6 e 19.3.7; il teorema 19.7.7; la dimostrazione del teorema 20.4.1; il teorema 20.4.2; la dimostrazione dell'osservazione 20.7.1.
Le “funzioni elementari” da R in R. Funzioni pari, funzioni dispari,
funzioni periodiche. Grafico di una funzione da R in R.
La funzione “valore assoluto” e osservazioni relative. Intorni.
Punti di accumulazione.
Continuità. Le funzioni elementari sono continue.
La somma, il prodotto, il quoziente, la composizione di funzioni continue
sono funzioni continue. L'inversa di una funzione continua è una
funzione continua. Teorema della permanenza del segno. Teorema di Bolzano.
Teorema di Weierstrass.
Prolungamento per continuità: problema dell'esistenza
e dell'unicità. La nozione di “limite”. Alcuni limiti “notevoli”.
Limite destro. Limite sinistro. Limiti e operazioni tra funzioni.
Limiti infiniti. L'insieme dei numeri reali esteso.
Limite per x che tende a “più infinito”.
Limite per x che tende a “meno infinito”. Tecniche di calcolo di limiti.
Teorema del “cambiamento di variabile”.
Il numero e ed alcuni limiti notevoli ad esso collegati.
Rapporto incrementale e suo significato geometrico.
Derivata e sua interpretazione geometrica. Derivabilità.
Derivabilità e continuità.
Compatibilità tra derivazione e operazioni: derivata della somma,
del prodotto, del quoziente, della comosizione, della funzione inversa.
Derivata delle funzioni elementari. Le regole di De L'Hôpital
per il calcolo dei limiti.
Funzioni crescenti. Funzioni decrescenti. Estremi locali.
Il teorema di Fermat. Il teorema di Rolle. Teorema di Lagrange
e sue conseguenze. Ricerca dei punti estremanti.
Convessità e concavità. Asintoti. Studio di una funzione.
Primitive: problema dell'esistenza e dell'unicità.
Regole di calcolo: primitive di una somma e di un prodotto per un
numero reale. Ricerca per parti. Ricerca per sostituzione.
Una primitiva per le funzioni razionali.
La nozione di integrale per una funzione limitata definita in un intervallo
limitato. Estensione della definizione alle funzioni non limitate
e/o definite su un intervallo non limitato.
Proprietà dell'integrale: linearità, additività rispetto
agli intervalli. Il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Applicazioni al calcolo degli integrali.
Calcolo di aree mediante gli integrali.
Con riferimento agli appunti redatti dal docente, questa parte del programma corrisponde al contenuto dei capitoli 21-31, omettendo: le dimostrazioni dei teoremi 21.2.3, 21.6.10, 21.6.11, 22.2.6, 22.3.1, 22.3.4, 22.3.9, 22.5.5, 22.5.6, 23.3.2 e 23.3.4; le dimostrazioni degli esempi 24.2.2, 24.2.9, 24.2.11, 24.2.12 e 24.2.14; le dimostrazioni dei teoremi 24.6.1, 24.6.5, 24.6.7, 24.7.1, 24.8.1 e 25.2.3; i teoremi 25.4.1 e 25.4.5; le dimostrazioni dei teoremi 26.2.1 e 26.2.4; il teorema 27.1.2; le dimostrazioni dei teoremi 27.2.1, 27.2.2 e 27.4.4; la sezione 29.6; le dimostrazioni dei teoremi 30.2.1, 30.3.1 e 30.4.1; i teoremi 31.6.1 e 31.6.2; la dimostrazione del teorema 31.6.3.
Eventi, esperimenti, risultati. Misura di probabilità. La valutazione frequentista. Probabilità condizionata. Indipendenza stocastica. Il teorema di Bayes. Variabili aleatorie. Speranza matematica. Deviazione standard. Cenni sulla disuguaglianza di Chebyshev. Esperimenti binomiali. Cenni sulle variabili aleatorie con distribuzione di probabilità normale.
Con riferimento agli appunti redatti dal docente, questa parte del programma corrisponde al contenuto del capitolo 32, omettendo: il teorema 32.5.1; la dimostrazione dei teoremi 32.9.4, 32.10.5, 32.12.8 e 32.13.1.